Mari Belajar Bilangan Prima, Rumus Beserta Variasi Soalnya

  • Bagikan


Artikel ini membahas tentang bilangan prima (prime numbers) dengan lengkap mulai dari pengertian, cara menentukan atau rumus bilangan prima, bilangan yang termasuk bilangan prima mulai dari 1 – 100 atau 1 – 1000 dan beberapa contoh soal beserta variasi yang sangat berkaitan erat dengan materi bilangan prima.

Bilangan prima

Teman-teman pernah tidak mempelajari bilangan prima? Wah ketika belajar di SD, materi ini kerap sekali disinggung karena berhubungan dengan materi FPB dan KPK. Sebelum menentukan penyelesaian, terlebih dahulu kita diminta oleh guru untuk mencari faktor prima dari bilangan yang hendak ditentukan FPB ataupun KPK – nya. Kadang membingungkan juga, yang dipelajari bilangan prima, kok malah yang dicari faktor prima? Keduanya samakah?? Atau apa maksud sebenarnya bilangan prima itu??

Teringat waktu sekolah dulu, kalau bertemu dengan soal seperti ini saya biasanya pakai cara simpel dengan mencari lalu menulis terlebih dahulu bilangan apa saja yang termasuk bilangan prima di kertas buram atau sele-sele. Lalu, saya catat satu per satu bilangan prima apa saja yang habis membagi bilangan yang mau ditentukan FPB atau KPK – nya. Nah, bilangan itulah yang dinamakan dengan faktor prima. Masih bingung?? Baiklah mari kita pelajari mulai dari konsep awal bilangan prima.

Apa Itu Bilangan Prima?

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Faktor itu artinya bilangan yang habis membagi sebuah bilangan. Sebagai contoh, bilangan 13 habis dibagi oleh angka 1 dan angka 13. Maka faktor dari 13 itu adalah 1 dan 13. Lalu apakah 13 dinamakan bilangan prima?? Untuk menjawabnya, perhatikan bilangan-bilangan berikut.

  • 2 = 2 x 1, faktor bilangan 2 adalah 1 dan 2 artinya hanya ada dua faktor maka 2 adalah bilangan prima
  • 3 = 3 x 1, faktor bilangan 3 adalah 1 dan 3 artinya 3 adalah bilangan prima karena hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan 3 sendiri
  • 5 = 5 x 1, faktor bilangan 5 adalah 1 dan 5 artinya 5 termasuk bilangan prima
  • 7 = 7 x 1, faktor bilangan 7 adalah 1 dan 7 oleh karenanya maka bisa dikatakan 7 adalah bilangan prima

Dari perkalian di atas terlihat bahwa bilangan 2, 3, 5, dan 7 hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi, bilangan 2, 3, 5, 7 disebut bilangan prima. Sehingga terjawab sudah, 13 adalah bilangan prima.

Kebalikan bilangan prima dinamakan dengan bilangan komposit yaitu bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor. Contoh bilangan komposit: 6, 18, 20, 26, …

Berdasarkan ciri-ciri ini, kita bisa membedakan apakah suatu bilangan termasuk bilangan prima atau bukan prima. Contoh dekat, apakah 11 dan 6 termasuk bilangan prima atau bukan?? 11 hanya mempunyai faktor 1 dan 11, maka 11 adalah bilangan prima. Sementara 6 mempunyai 4 faktor yaitu 1, 2, 3, dan 6, oleh karena itu maka 6 bukan bilangan prima.

Namun jangan salah, untuk keadaan yang lebih kompleks, bila menggunakan ciri ini saja kadang kita sulit sendiri apalagi bila dihadapakan dengan sebuah pertanyaan yang buat kita bingung. Saya pernah ditanyai oleh seorang teman, apakah -5 termasuk bilangan prima? Pertanyaan ini bisa dijawab bila kita sendiri tahu apa saja ciri-ciri umum bilangan prima. Simak uraiannya pada materi berikut.

Ciri – Ciri Bilangan Prima

Sebuah bilangan tentu tidak bisa kita katakan bilangan prima jika tidak mengenali tanda-tandanya. Layaknya seseorang yang dikenali hanya dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-cirinya saja maka kita bisa menentukan siapa dia. Begitu juga halnya dengan bilangan prima, untuk mengetahuinya berikut ciri-cirinya:

Jadi, teman-teman jangan terlalu pusing menentukan jawaban dari pertanyaan apakah -5 termasuk bilangan bilangan prima atau bukan. Bisa dipastikan bahwa -5 bukan bilangan prima karena tidak termasuk bilangan asli alias bilangan bulat negatif atau nilainya kurang dari 0.

Gampang kan teman-teman? OK, mari kita lanjutkan pembahasan cara mengecek apakah sebuah bilangan termasuk bilangan prima atau bukan.

Rumus Bilangan Prima

Jika nilai bilangan kecil maka saya rasa kita tidak sama sekali menemui sebuah kendala yang berarti hanya untuk memastikan apakah bilangan tersebut bisa dikatakan bilangan prima atau tidak. Misalnya, seseorang menanyakan kepada sobat apakah 10 termasuk bilangan prima? Coba sobat cek apa saja faktor dari 10. Faktor dari 10 yaitu 1, 2, 5, dan 10. Jumlah faktornya ada 4 berarti 10 bukan termasuk bilangan prima.

Namun berbeda jika seandainya sobat ditanyakan pembuktian dengan nilai bilangan yang besar. Sebagai contoh, apakah 859 merupakan bilangan prima? Bagaimana mengecek faktor atau pembagi bilangan 859? Jangan-jangan banyak. Nah, untuk menjawab pertanyaan seperti ini, teman-teman tak perlu repot untuk mencari faktornya, gunakan saja rumus dengan pendekatan kerangka berpikir Eratosthenes.

Eratosthenes

Kerangka berpikir eratosthenes merupakan salah satu cara untuk menentukan atau rumus bilangan prima yang tepat dan efektif bila nilai bilangan cukup besar. Adapun langkah untuk menggunakan rumus ini yaitu:

Karena 859 bukan merupakan kelipatan 2, 3, 5, atau 7, maka 859 merupakan bilangan prima.

Untuk menentukan bilangan prima selain 2, 3, 5, atau 7, rumusnya adalah dengan memeriksa apakah bilangan itu kelipatan 2, 3, 5, atau 7. Jika bukan kelipatan 2, 3, 5, atau 7, maka bilangan itu adalah bilangan prima (kecuali bilangan 1)

Agar lebih memahami mengenai rumus ini, pelajari perbandingannya pada contoh yang lain. Gunakan kerangka berpikir eratosthenes untuk membuktikan apakah 49 termasuk bilangan prima atau tidak. Berikut cara menentukannya.

Karena 49 bukan merupakan kelipatan 2, 3, 5, namun kelipatan 7, maka 49 adalah bukan bilangan prima. Jadi, meski hanya satu saja yang termasuk kelipatan bilangan yang mau diuji, maka sudah pasti bilangan tersebut bukanlah bilangan prima.

Kalkulator Bilangan Prima

Sebagai tambahan pengetahuan, teman-teman juga bisa menggunakan kalkulator bilangan prima berikut untuk mengecek apakah sebuah bilangan termasuk bilangan prima atau bukan. Caranya pun simpel, tinggal ketik saja nilai bilangan lalu klik tombol Cek maka akan ditampilkan hasilnya secara otomatis pada form dibawahnya. Gampangkan?? Selamat mencoba!!

Apa saja contoh bilangan prima? Sobat bisa mencari bilangan prima dengan cara menggunakan kerangka berpikir eratosthenes atau melalui kalkulator diatas. Sebagai bahan perbandingan, simaklah contoh berikut ini.

Bilangan prima 1-100 dan bilangan prima 1-1000

Bilangan Prima 1-100

Setidaknya ada 25 jumlah bilangan prima antara 1 hingga 100. Apa saja bilangannya?? Berikut ke 25 bilangan / angka prima pertama yang terletak diantara 1 sampai 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Bilangan Prima 1-1000

Berikut ini adalah 168 bilangan prima pertama yang berada diantara 1 hingga 1000 (kurang dari 1000), yaitu:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Fakta Bilangan Prima

Untuk menambah pengetahuan teman-teman seputar bilangan prima, berikut fakta bilangan prima yang sudah admin rangkum, yaitu:

  • Bilangan prima yang terdiri dari 2 digit atau lebih, tidak pernah berakhiran 0 dan 5
    Entah secara kebetulan, semua angka satuan bilangan prima yang jumlahnya 2 digit atau lebih tidak pernah ada yang bernilai 0 ataupun 5. Untuk memastikannya, perhatikan kembali daftar bilangan prima 1 – 1000. Bilangan prima yang terdiri dari 2 digit mulai 11 hingga angka 3 digit yaitu 997, semuanya tidak ada yang angka satuannya 0 atau 5.

  • Setiap angka pada bilangan prima bila dijumlahkan maka hasilnya bukan kelipatan 3
    Fakta ini cukup mengejutkan, bagaimana mungkin tiap-tiap angka pada bilangan prima yang terdiri atas 2 digit atau lebih bila dijumlahkan maka hasilnya tidak pernah kelipatan 3? Sebagai contoh bilangan prima 313, jumlahkan angka-angkanya 3 + 1 + 3 = 7 (bukan kelipatan 3) atau bilangan 71, bila dijumlahkan 7 + 1 = 8 hasilnya tetap bukanlah kelipatan 3.

  • Bilangan bulat negatif, 0 dan 1 bukan merupakan bilangan prima, ini sesuai dengan ciri-ciri bilangan prima
    Angka 0 (nol) bukan bilangan prima, mengapa? Karena 0 memiliki banyak faktor yang tidak terhingga jumlahnya, apalagi 0 bukan termasuk bilangan asli.
    Angka 1 bukan bilangan prima, mengapa? Karena 1 hanya bisa dibagi oleh angka 1, itu artinya angka 1 hanya memiliki 1 faktor saja, yaitu 1.

  • 2 adalah bilangan prima genap
    Satu-satunya bilangan prima yang habis dibagi oleh angka 2 adalah bilangan prima 2. Fakta inilah yang menjadikan 2 merupakan bilangan prima sekaligus bilangan genap.

  • Pembagian bilangan prima dengan metode pohon faktor sudah pasti tidak bisa dilakukan
    Karena bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor, faktanya tidak akan pernah membentuk pohon faktor. Pembagian dengan pohon faktor biasanya akan membagi sebuah bilangan dengan angka prima secara berurut mulai dari 2, 3, 5, 7, dan berakhir dengan bilangan dirinya sendiri, semua angka ini ditulis sebagai cabang dari pohon faktor. Namun, metode ini jelas tidak bisa dilakukan pada bilangan prima. Sebagai contoh, bilangan prima 59 hanya dapat dibagi oleh 1 dan 59, oleh karenanya tidak bisa membentuk pohon faktor karena tidak pernah bercabang.

  • Bilangan prima terbesar
    Secara matematis tidak ada bilangan prima terbesar, karena bilangan prima diambil dari susunan bilangan asli yang nilainya tidak berujung atau tidak terhingga. Faktanya beberapa peneliti pernah melakukan percobaan untuk mencari nilai bilangan prima terbesar. Tahun 2019, bilangan prima terbesar adalah 2^82,589,933 − 1

Kegunaan Bilangan Prima

  1. Dalam ilmu matematika, bilangan prima digunakan untuk mencari faktor-faktor prima dari bilangan komposit. Dari faktor prima tersebut, dua bilangan komposit atau lebih bisa dicarikan faktor yang sama melalui Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan kelipatan yang sama melalui Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Untuk keperluan lebih lanjut, FPB kerap digunakan untuk menyederhanakan bentuk pecahan.
  2. Dalam ilmu kriptografi, bilangan prima digunakan untuk keperluan enkripsi data. Bilangan prima cukup berperan penting dalam pembuatan kunci algoritma data yang sangat dilindungi kerahasiaannya. Dengan cara ini maka keamanan data diinternet dipastikan sangat kuat dan sukar untuk diakses. Beberapa keperluan pengamanan seperti keamanan sistem, sistem keamanan rekening bank, dan lain sebagainya.

Pembahasan Contoh Soal Beserta Variasinya

  1. Apa saja bilangan prima 1 sampai 100?

    Jawaban:
    Yang termasuk bilangan prima 1 sampai 100 yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

  2. Tentukan bilangan prima kurang dari 10!

    Jawaban:
    Bilangan prima kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, 7

  3. Tentukan bilangan prima kurang dari 20!

    Jawaban:
    Bilangan prima kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

  4. Berapa jumlah bilangan prima antara 10 dan 20?

    Jawaban:
    Jika soal menggunakan kata “antara”, maka bilangan 10 dan 20 tidak termasuk. Sehingga himpunan bilangan prima yang terletak antara 10 dan 20 adalah 11, 13, 17, 19. Jadi, jumlah / banyaknya bilangan prima antara 10 dan 20 adalah 4

  5. Tuliskan bilangan komposit antara 10 dan 20!

    Jawaban:
    Bilangan komposit atau kebalikan bilangan prima yaitu bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor antara 10 dan 20 adalah 12, 14, 15, 16, 18

  6. Sebutkan bilangan prima antara 35 dan 50!

    Jawaban:
    Sobat bisa menyebutkan jawabannya yaitu 37, 41, 43, 47

  7. Tuliskan himpunan bilangan prima genap!

    Jawaban:
    Karena bilangan prima genap hanya ada satu saja yaitu 2 maka ditulis 2

  8. Sepasang bilangan prima antara 15 dan 30 jumlahnya 52 dan bedanya 6. Pasangan bilangan prima manakah itu?

    Jawaban:
    Bilangan prima antara 15 dan 30 adalah 17, 19, 23, dan 29. Kita ambil pasangan bilangan 23 dan 29. Karena jumlah 23 + 29 adalah 52, sementara bedanya kita peroleh dengan mengurangkan 29 – 23 = 6. Jadi, pasangan bilangan prima yang jumlahnya 52 dan bedanya 6 adalah 23 dan 29.

  9. Beberapa soal dan jawaban bilangan prima yang mungkin sobat perlukan yaitu:

    • Bilangan prima kurang dari 15 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13
    • Bilangan prima antara 20 dan 30 adalah 23, 29
    • Bilangan prima 21 sampai 40 adalah 23, 29, 31, 37
    • Bilangan prima antara 15 dan 20 adalah 17, 19
    • Bilangan prima antara 10 dan 30 adalah 11, 13, 17, 19, 23, 29
    • Bilangan prima antara 100 sampai 120 adalah 101, 103, 107, 109, 113
    • Bilangan prima antara 25 dan 50 adalah 29, 31, 37, 41, 43, 47
    • Bilangan prima dari 42 adalah 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
    • Bilangan prima dari 25 adalah 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, …
    • Bilangan prima dari 50 adalah 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, …
    • Bilangan prima dari 24 adalah 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
  10. Sebutkan bilangan prima yang terletak diantara 100 sampai 200!

    Jawaban:
    101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, semuanya berjumlah 21

  11. Tuliskan bilangan angka prima 4 digit yang Anda ketahui!

    Jawaban:
    Angka prima 4 digit artinya bilangan prima yang lebih besar dari 1000 yaitu 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, …

Demikian materi tentang bilangan prima, jangan lupa untuk membagikannya kepada teman-teman yang lain. Terimakasih.



Source link

  • Bagikan

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.