Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak Beserta Pertidaksamaannya

  • Bagikan


Menentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutlak termasuk salah satu bagian dari materi kalkulus yang dipelajari dibangku SMA bahkan dijenjang perguruan tinggi karena merupakan salah satu materi dari mata kuliah Aljabar Elementer. Pada intinya materi nilai mutlak lebih banyak digunakan untuk memecahkan persoalan matematika seperti menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak dan juga pertidaksamaan nilai mutlak.

Berikut materi lengkap persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak beserta contoh soal.

PENGERTIAN NILAI MUTLAK

Nilai mutlak suatu bilangan real $x$ dilambangkan dengan $left | x right |$ dibaca: nilai mutlak $x$, adalah nilai tak negatif dari $x$ dan –$x$. Sebagai contoh:

  • $left | 3 right | = 3$
  • $left | -4 right | = 4$
  • $left | frac12 right | = frac12$
  • $left | -frac14 right | = frac14$

Ditetapkan pula bahwa nilai mutlak dari 0 adalah 0 itu sendiri atau $left | 0 right | = 0$. Dengan demikian, untuk tiap bilangan real $x$ maka berlaku $left | x right | >0$.

Singkatnya, semua bilangan yang ada didalam lambang nilai mutlak selalu bernilai positif.

Definisi:
Untuk tiap bilangan real $x$, maka nilai mutlak $x$ ditentukan sebagai berikut:

$left | x right | = left{beginmatrix
+x, textjika x geq 0\
-x, textjika x < 0
endmatrixright.$

  • $left | 10 right | = 10$
  • $left | text-6 right | =$ -(-6), sebab -6 < 0
    $left | text-6 right | =$ 6
  • $left | sqrttext5 – text1 right | = sqrttext5 – text1$
  • $left | sqrttext2 – text3 right | = -left ( sqrttext2 – text3 right )$, sebab $left ( sqrttext2 – text3 right )$ < 0
    $left | sqrttext2 – text3 right | = 3 – sqrttext2$
  • $left | sqrttext3 – sqrttext2 right | = sqrttext3 – sqrttext2$

Gimana kira-kira, apakah sudah paham arti nilai mutlak?

Baik, jika masih belum mari kita pelajari pendekatan pengertiannya melalui garis bilangan.

Nilai mutlak bisa dikatakan sebagai nilai bilangan yang dijadikan sebagai panjang atau jarak dari titik asal atau titik nol dalam garis bilangan.

Sebagai contoh, anggaplah titik asalnya 0 maka nilai mutlak 7 artinya letak bilangan yang jaraknya 7 baik dari arah kanan maupun arah kiri titik 0 yaitu bilangan positif 7 dan bilangan -7, perhatikan gambar garis bilangan berikut:

Pengertian nilai mutlak

Jadi, bisa disimpulkan bahwa jarak $x$ ke bilangan -$a$ dan $a$ dapat ditulis $left | x – a right | = left | a – x right |$

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

Beberapa sifat-sifat nilai mutlak suatu bilangan, sebagai berikut:

  1. Untuk $x in R$, $a in R$, dan $a > 0$, berlaku:
    • (i) $left | x right | leq a Leftrightarrow -a leq x leq a$
    • (ii) $left | x right | geq a Leftrightarrow x leq -a$ atau $x geq a$
  2. $left | x right | = sqrtx^2$
  3. Untuk tiap $x in R$ dan $y in R$, maka:
    • (i) $left | x times y right | = left | x right | times left | y right |$
    • (ii) $left | fracxy right | = fracleft $ dengan $y neq 0$
    • (iii) $left | x – y right | geq left | left | x right | – left | y right | right |$
    • (iv) $left | x + y right | leq left | left | x right | + left | y right | right |$

PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Perhatikan contoh persamaan nilai mutlak berikut:

(i) $left | x – 1 right | = 2$
(ii) $left | 2x – 4 right | = 4$
(iii) $left | 2x – 1 right | = left | x – 5 right |$
(iv) $left | x – 3 right |^2 – 4left | x – 3 right | = 3$

Pada persamaan di atas, peubah $x$ terdapat di dalam tanda nilai mutlak. Jadi, persamaan nilai mutlak adalah suatu persamaan yang peubahnya terdapat di dalam tanda nilai mutlak.

MENYELESAIKAN PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Agar lebih paham dalam menentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak, berikut contoh soalnya.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut

(a) $left | x – 1 right | = 2$
(b) $left | 2x – 4 right | = 4$
(c) $left | 3 – 2x right | = 5$
(d) $left | x – 2 right | = -1$
(e) $left | 2x – 3 right | = 6$
(f) $left | 3x – 1 right | = 2$
(g) $left | 2x – 3 right | = 5$

Jawab:

(a) $left | x – 1 right | = 2$

Berdasarkan sifat nilai mutlak ke 2: $left | x – 1 right | = sqrtleft ( x – 1 right )^2$
Sehingga menjadi $sqrtleft ( x – 1 right )^2 = 2$

Dengan menguadratkan kedua ruas persamaan di atas, diperoleh:
$left ( x – 1 right )^2 = 2^2\ x^2 – 2x + 1 = 4\ x^2 – 2x – 3 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 3 right ) = 0$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = 3$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | x – 1 right | = 2$ adalah $x_1 = -1$ atau $x_2 = 3$

(b) $left | 2x – 4 right | = 4$

$left ( 2x – 4 right )^2 = 4^2\ 4x^2 – 16x + 16 = 16\ 4x^2 – 16x = 0\ 4xleft ( x – 4 right ) = 0$
$x_1 = 0$ atau $x_2 = 4$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 2x – 4 right | = 4$ adalah $x_1 = 0$ atau $x_2 = 4$

(c) $left | 3 – 2x right | = 5$

$left ( 3 – 2x right )^2 = 5^2\ 9 – 12x + 4x^2 = 25\ 4x^2 – 12x – 16 = 0\ x^2 – 3x – 4 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 4 right ) = 0$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = 4$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 3 – 2x right | = 5$ adalah $x_1 = -1$ atau $x_2 = 4$

(d) $left | x – 2 right | = -1$

Mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan tak pernah negatif, maka tidak ada satupun nilai $x in R$ yang memenuhi persamaan itu. Bisa dikatakan bahwa persamaan $left | x – 2 right | = -1$ tidak mempunyai penyelesaian.

(e) $left | 2x – 3 right | = 6$

$left ( 2x – 3 right )^2 = 6^2\ 4x^2 – 12x + 9 = 36\ 4x^2 – 12x – 27 = 0\ left ( 2x + 3 right )left ( 2x – 9 right ) = 0$

Untuk $2x + 3$, maka:
$2x + 3 = 0\ 2x = -3\ x = -frac32\ x = -1frac12 Rightarrow textnilai x_1$

Untuk $2x – 9$, maka:
$2x – 9 = 0\ 2x = 9\ x = frac92\ x = 4frac12 Rightarrow textnilai x_2$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 2x – 3 right | = 6$ adalah $x_1 = -1frac12$ atau $x_2 = 4frac12$

(f) $left | 3x – 1 right | = 2$

$left ( 3x – 1 right )^2 = 2^2\ 9x^2 – 6x + 1 = 4\ 9x^2 – 6x – 3 = 0\ 3x^2 – 2x – 1 = 0\ left ( 3x + 1 right )left ( x – 1 right ) = 0$

Untuk $3x + 1$, maka:
$3x + 1 = 0\ 3x = -1\ x = -frac13 Rightarrow textnilai x_1$

Untuk $x – 1$, maka:
$x – 1 = 0\ x = 1 Rightarrow textnilai x_2$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 3x – 1 right | = 2$ adalah $x_1 = -frac13$ atau $x_2 = 1$

(g) $left | 2x – 3 right | = 5$

$left ( 2x – 3 right )^2 = 5^2\ 4x^2 – 12x + 9 = 25\ 4x^2 – 12x – 16 = 0\ x^2 – 3x – 4 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 4 right ) = 0$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = 4$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 2x – 3 right | = 5$ adalah $x_1 = -1$ atau $x_2 = 4$

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak dibawah ini

(a) $left | x – 2 right | = left | x + 1 right |$
(b) $left | 3 – x right | = left | 2x + 1 right |$
(c) $left | x – 2 right |^2 – 4left | x – 2 right | + 3 = 0$

Jawab:

(a) $left | x – 2 right | = left | x + 1 right |$

$sqrtleft ( x – 2 right )^2 = sqrtleft ( x + 1 right )^2$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$left ( x – 2 right )^2 = left ( x + 1 right )^2$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$x^2 – 4x + 4 = x^2 + 2x + 1\ 6x = 3\ x = frac12$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | x – 2 right | = left | x + 1 right |$ adalah $x = frac12$

(b) $left | 3 – x right | = left | 2x + 1 right |$

$sqrtleft ( 3 – x right )^2 = sqrtleft ( 2x + 1 right )^2\ left ( 3 – x right )^2 = left ( 2x + 1 right )^2\ 9 – 6x + x^2 = 4x^2 + 4x + 1\ -3x^2 – 10x + 8 = 0\ 3x^2 + 10x – 8 = 0\ left ( x + 4 right )left ( 3x – 2 right ) = 0$
$x_1 = -4$ atau $x_2 = frac23$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 3 – x right | = left | 2x + 1 right |$ adalah $x_1 = -4$ atau $x_2 = frac23$

(c) $left | x – 2 right |^2 – 4left | x – 2 right | + 3 = 0$

Misalkan $left | x – 2 right | = y$, maka persamaan nilai mutlak semula menjadi:
$y^2 – 4y + 3 = 0\ left ( y – 1 right )left ( y – 3 right ) = 0$
$y_1 = 1$ atau $y_2 = 3$

Untuk $y_1 = 1$, didapat:
$left | x – 2 right | = 1\ left ( x – 2 right )^2 = 1^2\ x^2 – 4x + 4 = 1\ x^2 – 4x + 3 = 0\ left ( x – 1 right )left ( x – 3 right ) = 0$
$x_1 = 1$ atau $x_2 = 3$

Untuk $y_2 = 3$, didapat:
$left | x – 2 right | = 3\ left ( x – 2 right )^2 = 3^2\ x^2 – 4x + 4 = 9\ x^2 – 4x – 5 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 5 right ) = 0$
$x_3 = -1$ atau $x_4 = 5$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | x – 2 right |^2 – 4left | x – 2 right | + 3 = 0$ adalah $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$ atau $x = 5$

Sampai disini mudah-mudahan tidak ada kendala. Apakah teman-teman masih butuh contoh soal lagi???

Baiklah, pelajari contoh dibawah.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut

(a) $left | 4x – 2 right | = left | x + 7 right |$
(b) $left | x – 2 right | = 5$
(c) $left | 2x – 1 right | = left | x + 4 right |$
(d) $left | 3x – 4 right | = 8$
(e) $left | x – 4 right | = 6$

Jawab:

(a) $left | 4x – 2 right | = left | x + 7 right |$

$sqrtleft ( 4x – 2 right )^2 = sqrtleft ( x + 7 right )^2$
$left ( 4x – 2 right )^2 = left ( x + 7 right )^2$
$16x^2 – 16x + 4 = x^2 + 14x + 49\ 15x^2 – 30x – 45 = 0\ x^2 – 2x – 3 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 3 right ) = 0$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = 3$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 4x – 2 right | = left | x + 7 right |$ adalah $x_1 = -1$ atau $x_2 = 3$

(b) $left | x – 2 right | = 5$

$left ( x – 2 right )^2 = left ( 5 right )^2\ x^2 – 4x + 4 = 25\ x^2 – 4x – 21 = 0\ left ( x + 3 right )left ( x – 7 right ) = 0$
$x_1 = -3$ atau $x_2 = 7$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | x – 2 right | = 5$ adalah $x_1 = -3$ atau $x_2 = 7$

(c) $left | 2x – 1 right | = left | x + 4 right |$

$sqrtleft ( 2x – 1 right )^2 = sqrtleft ( x + 4 right )^2$
$left ( 2x – 1 right )^2 = left ( x + 4 right )^2\ 4x^2 – 4x + 1 = x^2 + 8x + 16\ 3x^2 – 12x – 15 = 0\ x^2 – 4x – 5 = 0\ left ( x + 1 right )left ( x – 5 right ) = 0$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = 5$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 2x – 1 right | = left | x + 4 right |$ adalah $x_1 = -1$ atau $x_2 = 5$

(d) $left | 3x – 4 right | = 8$

$left ( 3x – 4 right )^2 = left ( 8 right )^2\ 9x^2 – 24x + 16 = 64\ 9x^2 – 24x – 48 = 0\ 3x^2 – 8x – 16 = 0\ left ( 3x + 4 right )left ( x – 4 right ) = 0$
$x_1 = -frac43$ atau $x_2 = 4$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | 3x – 4 right | = 8$ adalah $x_1 = -frac43$ atau $x_2 = 4$

(e) $left | x – 4 right | = 6$

$left ( x – 4 right )^2 = left ( 6 right )^2\ x^2 – 8x + 16 = 36\ x^2 – 8x – 20 = 0\ left ( x + 2 right )left ( x – 10 right ) = 0$
$x_1 = -2$ atau $x_2 = 10$

Jadi, penyelesaian persamaan $left | x – 4 right | = 6$ adalah $x_1 = -2$ atau $x_2 = 10$

Persamaan nilai mutlak

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini:

(i) $left | x – 4 right | < 2$
(ii) $left | 2x – 5 right | > 1$
(iii) $left | 2x – 3 right | leq left | x + 4 right |$
(iv) $left | x – 5 right |^2 – 4left | x – 5 right | – 12 < 0$

Pada pertidaksamaan di atas, peubah $x$ terdapat di dalam tanda nilai mutlak. Jadi, pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang peubahnya terdapat di dalam tanda nilai mutlak.

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Agar lebih paham dalam menentukan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak, berikut contoh-contoh soalnya.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut

(a) $left | x – 3 right | < 4$
(b) $left | 2x + 1 right | leq 7$
(c) $left | x – 2 right | > 3$
(d) $left | 3x – 2 right | geq 4$

Jawab:

(a) $left | x – 3 right | < 4$

Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-i), didapat:
$-4 < x – 3 < 4$
$-4 + 3 < x – 3 + 3 < 4 + 3$, semua ruas ditambah 3
$-1 < x < 7$

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $left | x – 3 right | < 4$ adalah $-1 < x < 7$
Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis sebagai $left x mid -1 < x < 7, x in R right $

(b) $left | 2x + 1 right | leq 7$

Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-i), didapat:
$-7 leq 2x + 1 leq 7$
$-7 – 1 leq 2x + 1 – 1 leq 7 – 1$, semua ruas dikurang 1
$-8 leq 2x leq 6$
$-4 leq x leq 3$, semua ruas dibagi 2

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $left | 2x + 1 right | leq 7$ adalah $-4 leq x leq 3$
Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis sebagai $left x mid -4 leq x leq 3, x in R right $

(c) $left | x – 2 right | > 3$

Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-ii), didapat:
$x – 2 < -3$ atau $x – 2 > 3$
$x – 2 + 2 < -3 + 2$ atau $x – 2 + 2 > 3 + 2$
$x < -1$ atau $x > 5$

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $left | x – 2 right | > 3$ adalah $x < -1$ atau $x > 5$

(d) $left | 3x – 2 right | geq 4$

Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-ii), didapat:
$3x – 2 leq -4$ atau $3x – 2 geq 4$
$3x – 2 + 2 leq -4 + 2$ atau $3x – 2 + 2 geq 4 + 2$
$3x leq -2$ atau $3x geq 6$
$x leq -frac23$ atau $x geq 2$

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $left | 3x – 2 right | geq 4$ adalah $x leq -frac23$ atau $x geq 2$

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan nilai mutlak berikut

(a) $left | 2x – 3 right | < left | x + 4 right |$
(b) $left | 2x + 1 right | geq left | x – 2 right |$
(c) $left | x – 1 right |^2 + left | x – 1 right | < 6$
(d) $2 < left | 2 – frac12x right | leq 3$

Jawab:

(a) $left | 2x – 3 right | < left | x + 4 right |$

$sqrtleft ( 2x – 3 right )^2 < sqrtleft ( x + 4 right )^2$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$left ( 2x – 3 right )^2 < left ( x + 4 right )^2$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$4x^2 – 12x + 9 < x^2 + 8x + 16$
$3x^2 – 20x + 7 < 0$
$left ( 3x + 1 right )left ( x – 7 right ) < 0$
$x_1 = -frac13$ atau $x_2 = 7$

Garis Bilangan Pertidaksamaan nilai mutlak

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $left | 2x – 3 right | < left | x + 4 right |$ adalah $left x mid -frac13 < x < 7, x in R right $

(b) $left | 2x + 1 right | geq left | x – 2 right |$

$sqrtleft ( 2x + 1 right )^2 geq sqrtleft ( x – 2 right )^2$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$left ( 2x + 1 right )^2 geq left ( x – 2 right )^2$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$4x^2 + 4x + 1 geq x^2 – 4x + 4$
$3x^2 + 8x – 3 geq 0$
$left ( x + 3 right )left ( 3x – 1 right ) geq 0$
$x leq -3$ atau $x geq frac13$

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $left | 2x + 1 right | geq left | x – 2 right |$ adalah $left x mid x leq -3 textatau x geq frac13, x in R right $

(c) $left | x – 1 right |^2 + left | x – 1 right | < 6$

$left | x – 1 right |^2 + left | x – 1 right | – 6 < 0$
Misalkan $left | x – 1 right | = y$, sehingga pertidaksamaan semula menjadi:
$y^2 + y – 6 < 0$
$left ( y + 3 right )left ( y – 2 right ) < 0$
$-3 < y < 2$

Untuk $y_1 > -3$, didapat:
$left | x – 1 right | > -3$ untuk tiap $x in R$ memenuhi

Untuk $y_2 < 2$, didapat:
$left | x – 1 right | < 2$
$-2 < x – 1 < 2$
$-2 + 1 < x – 1 + 1 < 2 + 1$
$-1 < x < 3$

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $left | x – 1 right |^2 + left | x – 1 right | < 6$ adalah $left x mid -1 < x < 3, x in R right $

(d) $2 < left | 2 – frac12x right | leq 3$

  • $left | 2 – frac12x right | leq 3$

    $-3 leq 2 – frac12x leq 3$
    $-5 leq -frac12x leq 1$
    $10 geq x geq -2$ atau $-2 leq x leq 10$ …………..1)

  • $2 < left | 2 – frac12x right |$, sesuaikan dengan sifat $left | x right | > a$
    menjadi: $left | 2 – frac12x right | > 2$

    $2 – frac12x < -2$ atau $2 – frac12x > 2$
    $-frac12x < -4$ atau $-frac12x > 0$
    sehingga,
    $x > 8$ …………..2)
    atau
    $x < 0$ …………..3)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $left x mid -2 leq x < 0 textatau 8 < x leq 10, x in R right $

Demikian ulasan tentang persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, semoga bermanfaat.



Source link

  • Bagikan

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.